Matematyka - Sciaga
CIĄGI: Ciągiem skończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f:{1,2,3,...K}?x;
Ciągiem nieskończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f: N?x;
Gr.Ciągów: lim an = g ? ? ? ? d? an,g ?? ? gdzie an ? R
n ? ?0 N n ? N
lim an = g ? ? ? ? d Ian - gI ? ?
n ? ?0 N n ? N
Gr.Ciąg.Niewłaściwa: lim an = + ? ? ? ? ? an ? M
n M ? 0 N n ? N
lim an = - ? ? ? ? ? an ? M
n M ? 0 N n ? N
Ciąg zbieżny: Jeżeli ciąg an jest zbieżny do liczby g, to każdy podciąg cigu an jest też zbieżny do g.
Jeżeli istnieją w ciągu an dwa podciągi zbieżne do różnych granic (właściwa lub niewłaś.)
to ciąg an nie ma granic.
Tw.o 3 ciągach: Jeżeli lim an = lim bn = g i ? an ? cn ? bn ,to lim cn = g
n n n ? N n
GR.FUNKCJI: Punkt a nazwiemy punktem skupienia zbioru A ? gdy dowolnie blisko punktu A
znajduje się inny punkt zb. A;
lim f(x)= g ? ? ? ? (x-a) ? ? ==> I f(x)-g I < ? gdzie f: x ==> R
x?a ? ? 0 ? ? 0 x ? a
x ? X
lim f(x)= g ? ? ? ? a - ? < x < a ==> I f(x)-g I < ?
x?a- ? ? 0 ? ? 0 x ? X
lim f(x)= g ? ? ? ? a < x < a + ? ==> I f(x)-g I < ?
x?a+ ? ? 0 ? ? 0 x ? X
Jeżeli funkcja f ma granice w punkcie a, to w punkcie tym istnieją i są równe obie
granicy jednostronnej;
Jeżeli te granice są różne lub jedna z nich nie istnieje to funkcja f nie ma granic;
Def.Hainego: lim f(x)= g ? ? lim xn = a ==> lim f(xn) = g
x?a xn ? x, xn ? a
lim f(x)= g ? ? lim xn = a ==> lim f(xn) = g
x?a+ xn ? x, xn > a
CiągłośćFunk.: Jeżeli lim f(x)=f(x0), to mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0
x ? x0
lim f(x)=f(x0) funkja jest ciągła w punkcie x0 prawostronnie
x ? x0+
lim f(x)=f(x0) funkja jest ciągła w punkcie x0 lewostronnie;
x ? x0-
Mówimy, że funk. Jest ciągła w zbiorze A ? gdy jest ciągła w każdym punk. w zb. A ;
Jeżeli funkcja jestciągła w całej swojej dziedzinie to jest to funkcja ciągła;
Włas.Funk.Ciągłych: ?
Tw.Bolzano-Cauchy'ego: Jeżeli funk.jest ciągła w przedziale
c?(a,b),że f(c)=0;
Tw.o.zachowaniu.znaków: Jeżeli funk. f jest ciągła w punk. x0 i f(x0)?0,to istnieje takie otoczenie
p x0, że f przyjmuje wartość tego samego znaku jak f(x0);
Asymtoty:Prost x=a jest asym. pion. lewostr. wykresu funk. y=f(x) ? limf(x)=+ - ?;
x ? a-
Prost x=a jest asym. Pion. prawostr. wykresu funk. f(x)=y? limf(x)=+ - ?;
x ? a+
Prost x=a jest asym. Pion. lewo. i prwostr. wykresu funk. y=f(x) nazywaną asymp. Obustronną;
Pr. y=b jest asymp. Poziomą prwostr. W funk. f ? lim f(x)=b;
x ? + ?
Pr. y=b jest asymp. Poziomą lewostr. W funk. f ? lim f(x)=b;
x ? - ?
Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną prwostr. Wykresu funkcji f ? [ lim f (x)/x =a ? lim[ f(x)-ax]=b ]
x ? + ? x ? + ?
Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną lewostr. Wykresu funkcji f ? [ lim f (x)/x =a ? lim[ f(x)-ax]=b ]
x ? --- ? x ? -- ?
POCHODNA: Granicę taką o ile istnieje i jest właściwa nazywmy poch. funk. f w punkcie x0 i nazyw. f '(x0);
lim ?y/?x = lim f(x0+h) - f(x0)/h
?x?0
Jeżeli istnieje f '(x0) to funkcja f jest rózniczkowalna w punkcie x0;
Jeżeli funk. f jest różniczkowalna w punkcie x0 to jest w tym punkcie ciągła
lim f(x)=f(x0) ; lim (f(x)-f(x0))=0;
x ? x0 x ? x0
RÓŻNICZKA : dy= f '(x) ? ?x= dy/dx ? dx;
Tw.Fermata:Jeżeli funk. f określona w przedz.
w punk. c ? (a,b) i jest w tym punk. różniczkowalna, to f '(c)=0
Dowód: f(c)=M ? f(x)
Tw.Rolle'a: Jeżeli funk. okreslona i ciagła w
c?(a,b),że f '(c)=0
Dowód: f jest ciągła w
?? M=m ==> f(x) = const ==> 0 ==> f '(x)=0
?? M>m - wewnątrz przedziału (a,b) osiąga funkcja przynajmiej jeden kres górny lub
dolny.Skoro funk. przyjmuje kres wewnątrz przedziału to z Tw.Fermata
pochodna w tym punkcie w którym jest kres musi być =0;
Tw.Lagrange'a: Jeżeli f jest określona i ciągła w
c?(a,b),że f '(c)= f(b) - f(a)/b - a
Dowód: F(x)=f(x)- f(a) - f(b) - f(a)/b - a ? (x-a) ;
Tw.Cauchy'ego: Jeżeli f i g są ciągłe w
to istnieje taki punkt c?(a,b),że f(b) - f(a)/g(b) - g(a) = f '(c)/g '(c)
Dowód: f(x)=f(x) - f(a) - f(b) - f(a)/g(b) - g(a) ? (g(x) - g(a))
F(a)=0 , F(b)=0 , F '(x)=f '(x) - f(b) - f(a)/g(b) - g(a) ? g '(x)
F '(c)=0 , g(b)=g(a), ? ? (a,b) g '( ? )=0;
EKSTREMA: Mówimy,że funk. f ma maksimum lokalne właściwe w punk. x0 ? gdy istnieje takie sąsiedztwo
punk. x0
S(x0,?)=(x0 - ?,x0) ? (x0, x0 - ?) że ? f(x)
Zerownie się 1 poch. To warunek konieczny istnienia ekstremum;
Tw. własności wszystkich ekstremum reguła 1: Jeżeli f '(x0)=0 i f ' zmienia znak przy przejściu przez x0,to
w punkcie x0 jest ekstremum,przy czym jeżeli zmiana znaku następuje z + na - to mamy maksimum,a
z - na + to mamy minimum;
Tw. Warunek wystarczający ekstremum reguł a 2: Jeżeli funk. f jest dwukrotnie różniczkowalna i
f ' (x0)=0 i f ' '(x0)>0 to w punk. x0 funk. ma minimum,(ii) f '(x0)=0 i f ' '(x0)<0 to w punk. x0 funk.ma maks.;
WYPUKŁ. I WKLĘSŁOŚĆ:Mówimy,że funk. f jest wypukła w przedziale )( ? ? f(q1x1+q2x2)
q1,q2 >0 i q1+q2=1; warunek konieczny punktu przegięcia f ''(x0)=0 a wrunek
wystarczający punktu przegięcia f ''(x0)=0 ? f ' ' zmienia znak;
Tw. de l'Hospitala: Jeżeli f i g określone w przedz. (a,b>,lim f(x)=lim g(x)=0,f i g rózniczk. w (a,b) i g '(x)? 0
x ? a x ? a
to istnieje granica lim f '(x)/g '( x)=K
x ? x0
CAŁKA nieoznaczona: Funkję F nazywamy funkją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, jeżeli F'(x)=f(x)
dla każdego x z tego przedziału; f(x)=1 F1(x)=x F2(x)=x-1;
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to każda funkcja postaci G(x)=F(x) + C,
C-dowolna stała, jest funkją pierwotną funkcji f. Każda funkcję pierwotną można przedstawić
w tej postaci ? f(x)dx = F(x) + C;
oznaczona: Jeżali granica n
lim ? f( ? i) ? ?xi istnieje ,jest skończona i nie zależy od sposobu przedziału
n i=1
(byle tylko był normalny ciąg przedziałów) :wyboru punktów pośrednich ( ? i),
to granicę tę nazywamy całką oznaczoną z funkcji f w przedziale
b n
? f(x)dx= lim ? f ( ? i) ? ?xi całka Riemanna
a n i=1
Wzór Newtona-Leibniza(rachunek całkowy): Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f to
b
? f(x)dx= F(b) - F(a)
a
Tw.: f jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną w
wyraża się wzorem: b
? ? 1+ [ f '(x)]2 dx
a
MACIERZE: Macieżą wymiaru n x k nad ciałem F nazywamy dowolną funkcję f :{1,2,3,...k}?F; det A lub IAI;
Minor: Jeżeli A?M nxk ,Minorem stopnia m(1?m?max{n,k})nazywamy wyznacznik stopnia m macieży
powstałej z macieży a przez wybór m-wierszy i m-kolumn dowolnych;
Minor:Jeżeli A ? M nxm,M-jej minorem stopnia k, to macieżem dopełniającym nazywamy minor utworzony z
pozostałych wierszy i kolumn,znaczony M? - st. n-k;
Dopełnieniem algebraicznym minora st. K macierzy kwadratowego A M j1,j2...jk powstałego przez wybór wierszy
j1,j2...jk i1,i2...ik
i1,i2,i3,.....ik kolumn j1,j2,j3,...jk nzywamy liczbą A i1,i2..ik = (-1)m (M j1,j2...jk )' , m=i1+i2+...ik+j1+j2+....jk;
n j i1,i2...ik n r
Tw.Laplace'a: det A = ? ar j A r (rozwinięcie wg r-tego wiersza), det A= ? ai r A j (wg r-tej kolumny);
i=1 i=1
Macierz transponowana: Niech A ? M mxn ,Macież B ? M nxm określoną wzorem bij=aji,i=1,...n,j=1,...m nazywa
się macierzą transponowaną do macierzy A i oznaczoną AT;
Macierz odwrotna: Jeżeli A jest macierzą kwadratową to macierz B, taką że AB=BA=? nazywamy
macierzą odwrotną do macierzy A.
Jeżeli macierz A ma odwrotną , to tylko jedną: B1,B2-macierz odwrotna do A
Dow. B1A=AB1=? , B2A=AB2=? , B1=B1?=B1(AB2)=(B1A)B2=?B2=B2
Jeżeli A ma macierz odwrotną to macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy A-1
i mówimy że macierz A jest odwracalna.
Macierz A jest odwracalna ? det A ? 0
Budowa macierzy odwrotniej: A-1=1/det A ? A^ (jeszcze rysunek macierzy);
WEKTORY: mówimy,że wektory x1,x2,....xk są liniowo zależne <=> gdy przynajmiej jeden z nich jest liniową kombinacją
pozostałych. W przeciwnym wypadku mówimy,że wektory te są liniowo niezależne;
Wektory x1,x2....xk są liniowo zależne ? gdy istnieje nie trywialna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów;
Wektory są liniowo nie zależne ? gdy jedna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów jest kombinacją
trywialną.
Rząd macierzy: Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macieży;
Rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi nie zerowych minorów wyjętych z macierzy A;
Przekształ.Ukł.Równ.: Tw.Cramera: Jeżeli A?Mnxn, det A?0,to układ AX=B jest ukł. Oznaczonym i jego rozwiązanie
Wyraża się wzorem: xi=det A ( j )/det A , j=1,2,...n, A(j)=[ A1A2....B....An ];
Tw. Kroneckera,Capellego: Układ AX=B,A ? M mxn,B należy Rm,x=[x1x2.....xn](to wszystko w kolumnie)
jest niesprzeczny <=> rzA=rz~A; rzA=rz~A=n -ukł. Oznaczony, rzA=rz~A=k
| Dane autora: | ||