Matematyka - Matematyka - calki, rownania rozniczkowe
CAŁKA OZNACZONA = liczba, CAŁKA NIEOZNACZONA = funkcja
ŚREDNICA PRZEWDZIAŁU Pn: ?(Pn) = max {k=1..n} {Xk-Xk-1=?Xk}
(Pn)?n=1 jest normalny ? ?(Pn)?0 podział na równe części to podział normalny, podział na nierówne - nie jest normalny
DEFINICJA WARUNKOWA CAŁKI: jeśli dla każdego ciągu normalnego podziału (przedziału)
?G fdm(n)=lim{?n?0,b->?} ?k=1n f(Xk) |Gk|
?G 1dm(n)=lim{?n?0}?k=1n1|Gk|=|G|
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ: Gdy f(x)>=0 ?x?
WARUNEK DOSTATECZNY CAŁKOWALNOŚCI: f?C?(
WARUNEK KONIECZNY: f jest ograniczona na
TW. NEWTONA LEIBNITZA: ?abf(x)dx=F(b)-F(a)
TW O WARTOŚCI ŚREDNIEJ: ?x?(a,b): f(x)=(?abf(x)dx)/(b-a)?
?x?(a,b):?abf(x)dx=f(x)(b-a)
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE: Z: g:
T: ?abf(g(x))*g'(x)dx=?g(x)=t, g'(x)dx=dt, x|a|b/t|?|??=???f(t)dt
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI: (f,g?C1(
T: ?abf '(x)*g(x)dx=[f(x)*g(x)]ba-?abf(x)g'(x)dx
ADDYTYWNOŚĆ WZGLĘDEM PRZEDZIAŁU CAŁKOWANIA: ?abf+?bcf=?acf
?abf= --?baf
?x?
f(x)<=g(x)??abf(x)dx<=?abg(x)dx
TW WEISTRASSA: ?m,M?R ?x?
T: m(b-a)<=?abf(x)dx<=M(b-a)
?-aaf. parzystej=2?0af, ?-aaf. nieparzystej=0
?0?f(x)dx=lim{???}?a?f(x)dx=lim{???}(f(?)-f(a))=F(?)-F(a) F(?)?R(?)?c. zbieżna, F(a)?R(nie?)?c. rozbieżna
?-??f(x)dx=?-?cf(x)dx+?c?f(x)dx=F(?)-F(-?) ?c. zbieżna gdy obie są zbieżne
?@bf(x)dx=lim{??a+}??bf(x)dx=lim{??a+}(F(b)-F(?))=F(b)-F(a+)
?a?f(x)dx=lim{??b-}?a?f(x)dx=F(b-)-F(a)
?@?f(x)dx=?@cf(x)dx+?c?f(x)dx=F(b-)-F(a+)
?a?bf(x)dx=?a?f(x)dx+??bf(x)dx
DŁUGOŚĆ ŁUKU: |lAB|=????(x'(t)2+y'(t)2)dt
|P|=???y(t)x'(t)dt
CAŁKI WIELOKROTNE:
przedział jest NIEZDEGENEROWANY??k?In={1..n} ak
OBJĘTOŚĆ PRZEDZIAŁU n- WYMIAROWEGO: vol P(n)=(b1-a1)(b2-a2)..(bn-an) dla zdegenerowanego vol P(n)=0, vol?=0
TWORZYMY figurę utworzoną ze skończonej liczby przedziałów n- wymiarowych o wnętrzach parami rozłącznych. Objętość tej figury to suma objętości figur przedziałów. Figura jest WPISANA w G? zawiera się w tym zbiorze (OPISANA gdy zawiera zbiór G). Każda figura ma miarę wewnętrzną i zewnętrzną: zewnętrzna - kres dolny objętości wszystkich możliwych figur opisanych, wewnętrzna - kres górny wpisanych.
MIARA JORDANA: (zbiór ograniczony i niepusty) jeśli miara zewnętrzna = wewnętrznej ?ta wartość to miara Jordana |G| lub m(G) ?zbiór jest MIERZALNY
ZBIÓR NIEMIERZALNY w sensie Jordana ? zewnętrzna> wewnętrznej
jeśli G jest mierzalny to intG też i |G|=|intG| i |?G|=0 (|?G| - miara brzegu)
DEFINICJA ? n- WYMIAROWEJ: G- zbiór ograniczony, domknięty, mierzalny, f -ograniczona na G: Jeśli ? granica I?R (skończona) dla wszystkich normalnych ciągów sum całkowych i przy dowolnym wyborze ciągów punktów pośrednich w elementach podziału to ta granica to ?G fdm(n)
|?Gf|<=?G|f|
Jeśli f jest ograniczona i ciągła (prawie wszędzie) na G to f jest CAŁKOWALNA na G
Jeśli obszar jest normalny w kierunku x i y to wynik całkowania nie zależy od przyjęcia wypukłości a do obliczania stosujemy dowolną iterację.
Uogólnieniem całkowania po obszarze normalnym jest całka po obszarze regularnym który jest sumą obszarów wypukłych w kierunku jakiejś osi o wnętrzach parami rozłącznych.
ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA BIEGUNOWE: x=r*cos?, y=r*sin?, J=|dx/dr,dx/d??dy/dr,dy/d?| ??Df(x,y)dxdy=???f(r*cos?,r*sin?)r*d?dr (D- obszar regularny i domknięty)
ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA SFERYCZNE: ?- kąt poziomy, ?- kąt od cienia do promienia: x=r*cos?cos?, y=r*sin?cos?, z=r*sin?, J=r2*cos?
MASA: mD=?gmdm, MOMENT STATYCZNY: MF=?D??d(x,F)dm, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: BF=?D?d(x,F)dm, PARCIE CIECZY F=???Dd((x,y),l)dxdy, PRACA NA WYPOMPOWANIE CIECZY: L=????Dd((x,y,z),H), ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: (Xs,Ys,Zs):
Xs=(?Dgxdm)/(?Dgdm)
DEF ŁUKU REGULARNEGO: łuk regularny o początkach A i B K=AB to HONOGRAF (obraz) funkcji wektorowej r: t??r(t)=[x(t),y(t),z(t)]?R3(2) dla z(t)=0?łuk płaski
F wektorowa r określa jednoznacznie uporządkowanie punktów (orientację) na honografie
KRZYWA jest ZAMNIĘTA jeśli r(?)=r(?) i r jest różnowartościowa w przedziałach
KRZYWA KAWAŁKAMI REGULARNA: skończona suma łuków regularnych (łamana): koniec jednego = początek drugiego
DEF CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ: Jeśli ?! rzeczywista liczba taka, że jest granicą dowolnego ciągu sum całkowych Sn I=lim {n??, ?n?0} Sn przy normalnym ciągu podziału łuku i niezależnie od wyboru punktów pośrednich Ak to nazywamy ją wartością całki krzywoliniowej
?K=AB Wodl INTERPRETACJA: praca potrzebna na przeniesienie jednostkowej masy wzdłuż łuku K przy działaniu siły W. Gdy K jest zamknięta to ? ta to cyrkulacja pola W wzdłuż krzywej K
?K=ABf(x,y,z)dl=???f|K=AB |r'(t)|dt=???f|K=AB?(x'(t)2+y'(t)2+z'(t)2)dt
?K=ABWodl=???W|Kor(t)dt=???[p(x(t),y(t),z(t))*x'(t) +Q( )*y'(t)+R( )z'(t)]dt
DŁUGOŚĆ ŁUKU: lK=?Kdl, MASA ŁUKU: ml=?Kgndl, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: BF=?Kgnd2(x,F)dl, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: Xs=(?Kgnxdl)/( ?gndl)
TW GREENA: D- normalny względem osi X i Y (wypukły względem obu osi) ?D- krzywa zamknięta - kawałkami regularna (x,y)?D?W(x,y)=[P(x,y),Q(x,y)]?C1(D), ?^Wodl=??D[Q'x(x,y)-P'y(x,y)]dxdy
ZAGADNIENIE CAUSHIEGO (gwarantowane przez ciągłość): znalezienie rozwiązania spełniającego: y(x0)=y0, y'(x0)=y1, y''(x0)=y2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH: y'=p(x)*g(y), ?dy/(y)=?dx/(x)
RÓWNANIE JEDNORODNE: y'=p(y/x)?y/x=u(x)
OPERATOR RÓŻNICZKOWANIA CAŁKOWEGO: Ln=dn/dxn+P(n-1)*dn-1/dxn-1+...+p1*d/dx+p0(x)
TWIERDZENIE o STRUKTURZE (o RORJ): y1..yn?Cn-1(Xp): wszystkie są rozwiązaniem RJ, WROŃSKIAN: W(x)=det[y1(x),y2(x)..yn(x)?y'1(x), y'2(x)..y'n(x)?...?yn-11(x)..yn-1n(x)]nxn?0, y1..yn są LN w C?(Xp)
?C1..Cn?R, C1y1+C2y2+..+Cnyn=0?C1=C2=..=Cn=0
RL1: y'+p0(x)*y=g(x) ? y=C1y0(x)+ys(x) ? y=C1y1(x)+y1(x)*?[f(x)/y1(x)]dx, y1(x)=exp[-?p1(x)dx]
r2 + pr + q = 0:
?>0: y1=exp(r1x), y2=exp(r2x) W(x)?0, y0=C1*exp(r1x)+C2*exp(r2x)
?=0: y1=exp(r0x), y2=x*exp(r0x)W(x)>0
?<0: r1=(-p-i?(-?))/2, r2=(-p+i?(-?))/2=??i?, ?=p/2, ?=?(-?)/2, y1=exp(?x)*cos?x, y2=exp(?x)*sin?x
f(x)= e?x[Wl1(1)(x)cos?x+Wl2(2)(x)sin?x]
brak kolizji? (?+i? nie jest ? równania charakterystycznego),
ys= e?x[(Amxm+ A1x+A0)cos?x+(Bnxn+..B0)sin?x],
jeśli ?+i? jest ? k- krotnym ?ys=xk
ZAGADNIENIE CAUSHIEGO DLA UKŁADÓW RÓWNAŃ: WP: x1(t)=x1, x2(t)=x2, t?(t0, tk)
?x?dx=1/(?+1)*x?-1+C
In=?cosnxdx=1/2*3/4*5/6*...*(n-1)/n* ?/2 dla n parzystego lub 2/3*4/5*6/7*(n-1)/n dla n nieparzystego
?Wn(x)/?(ax2+bx+c)dx=Wn-1(x)?(...)+P?dx/?(..)
| Dane autora: | ||