Matematyka - Analiza Matematyczna
Pytanie 1
Prawa de Morgana dla zmiennych
Zaprzeczenie implikacji
Prawo kontr pozycji
Pytanie 2
Prawa de Morgana dla Kwantyfikatorów
Prawa przestawiania kwantyfikatorów
Pytanie 3
Działania na zbiorach
Niech Możemy zdefiniować następujące
działania na zbiorach
Suma zbiorów A i B
Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B
Różnica zbiorów A i B
Dopełnienie zbioru A do X
Jeśli dane są zbiory nie puste A i B to można
utworzyć zbiór, który oznaczamy złożony
ze wszystkich par uporządkowanych , gdzie
i . Zbiór ten nazywamy iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A i B.
Pytanie 4
Definicja kresu dolnego i górnego, twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry gdy
istnieje liczba (zwana ograniczeniem górnym
zbioru A) taka, że:
Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejsze z
ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy kres górny
przez symbol supA (supremum A)
2) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu gdy
istnieje liczba (zwana ograniczeniem dolnym
zbioru A) taka, że:
Kresem dolnym zbioru A nazywamy największe z
ograniczeń dolnych zbioru A i
oznaczamy infA (infinium A)
Twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Każdy zbiór niepusty ograniczony z
góry posiada dokładnie jeden kres górny
2) Każdy zbiór niepusty ograniczony z
dołu posiada dokładnie jeden kres dolny
Pytanie 5
Wartość bezwzględna i jej własności:
Dla definiujemy jej wartość bezwzględną wzorem:
Własności:
Pytanie 6
Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja, bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja funkcji:
Niech , . Zbiór nazywamy
funkcją, gdy dla każdego istnieje dokładnie
jeden element taki, że
W skrócie:
Piszemy oraz zamiast piszemy y = f(x)
Niech . Mówimy, że:
a) f jest iniekcją (albo inaczej funkcją różnowartościową), gdy
(Uwaga: korzystając z prawa kontrapozycji, można powyższy warunek zapisać w postaci
b) f jest suriekcją (albo inaczej funkcją "na"), gdy
f(x) = y
c) f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie iniekcją i suriekcją.
Pytanie 7
Zasada indukcji zupełnej:
Niech będzie funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N. Jeśli:
1) zachodzi
2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi wynikanie
to zachodzi dla każdej liczby naturalnej u.
Pytanie 8
Definicja ciągu liczbowego, monotoniczność, ograniczoność:
Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy każdą funkcje f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy a ciąg o wyrazach zapisujemy symbolem () lub a1, a2, a3...
Monotoniczność: Mówimy, że ciąg jest:
1) niemalejący gdy
rosnący gdy
2) nierosnący gdy
malejący gdy
Jeśli ciąg jest niemalejący lub nierosnący to nazywa się monotonicznym.
Ograniczoność: Ciąg nazywa się ograniczonym jeśli zbiór jego wyrazów jest zbiorem ograniczonym w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że (*)
Warunek (*) można zastąpić przez:
Pytanie 9
Ciągi zbieżne i ich własności:
Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę (gdy istnieje liczba g taka że granica ). Gdy taka liczba nie istnieje to ciąg nazywa się rozbieżnym.
Własności:
1) Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.
2) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
Z tego wynika:
a)
b)
Jeśli i gdzie to
1)
2)
3)
Pytanie 10
Twierdzenie o trzech ciągach:
Jeśli
oraz , to
Dowód: Niech ? > 0. Z założenia mamy
Koniunkcja nierówności implikuje
I z założenia
Skąd mamy
zatem
Co daje tezę.
Uwaga: Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zakładać, że dla prawie wszystkich
Pytanie 11
Twierdzenie o zbieżności ciągów monotonicznych. Liczba e:
Twierdzenie o zbieżności ciągów monotonicznych - Jeśli ciąg jest od pewnego miejsca monotoniczny i jednocześnie ograniczony to jest zbieżny.
Liczbą e - nazywamy granicę ciągu , . Liczba ta jest równa 2,7182818284
Pytanie 13
Ciągi rozbieżne do :
a) Ciąg nazywamy rozbieżnym do gdy . Piszemy:
b) Ciąg nazywamy rozbieżnym do
gdy . Piszemy:
Pytanie 13
Granice częściowe ciągów, granica dolna i górna:
Granicą częściowa ciągu nazywamy element taki, że =g dla pewnego podciągu ciągu ()
a) Granicą dolną ciągu () nazywamy kres inf i oznaczamy przez lub lim
b) Granicą górną ciągu () nazywamy kres sup i oznaczamy przez lub lim
Pytanie 14
Funkcje elementarne i ich rodzaje:
Podstawowymi funkcjami elementarnymi są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze, funkcje logarytmiczne, funkcje trygonometryczne oraz funkcje cyklometryczne (odwrotne do trygonometrycznych).
Funkcja elementarna powstaje przez zastosowanie skończoną ilość razy podstawowych funkcji elementarnych, działań arytmetycznych (dodawane, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) oraz operacji superpozycji, pod warunkiem, że zastosowane operacje mają sens.
Pytanie 15
Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie:
Niech . Wówczas
Pytanie 17
Własności algebraiczne granic funkcji w punkcie:
Niech ; ; ; - punkt skupienia zbioru E. Załóżmy, że istnieją skończone granice: i . Wtedy
1)
2)
3)
4) o ile dla oraz
Pytanie 18
Definicja ciągłości funkcji w punkcie i na zbiorze:
Niech , ,
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkciegdy:
1) nie jest punktem skupienia zbioru E
2) jest punktem skupienia zbioru E oraz
Funkcja nazywa się ciągłą na zbiorze E gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Pytanie 19
Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie:
Rozróżniamy następujące typy nieciągłości funkcji f w punkcie przy założeniu, że f jest określona w otoczeniu obustronnym punktu :
1) Istnieją obie granice jednostronne skończone, a więc granica lewostronna w punkcie i i są równe, ale obie różne od f() (nieciągłość I rodzaju - nieusuwalna)
1a) Istnieją obie granice jednostronne skończone w punkcie ale są różne (nieciągłość I rodzaju - nieusuwalne)
2) Przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona (nieciągłość II rodzaju)
Pytanie 20
Własności funkcji ciągłych na przedziale:
Twierdzenie Weierstrassa: Jeśli jest funkcją ciągłą na [a,b], to f jest ograniczona oraz f osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie liczby , że:
Twierdzenie Darboux: Jeśli f jest funkcją ciągłą na pewnym przedziale I, to dla dowolnych liczb i dla dowolnej liczby y leżącej między f(a) i f(b) istnieje liczba c leżąca między a i b, taka że y = f(c)
Pytanie 21
Iloraz różnicowy, pochodna funkcji w punkcie:
Niech gdzie , oraz niech
Funkcję daną wzorem
,
Nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x. Liczba h = t - x oznacza przyrost argumentu, zaś liczba f(t) - f(x) jest odpowiednim przyrostem funkcji.
Pochodna: Granicę , jeśli istnieje, nazywamy pochodną funkcji f w punkcie i oznaczamy f'(). Jeśli f'() istnieje i jest skończona to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie
Pytanie 22
Warunek konieczny różniczkowalności:
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie to jest ciągła w punkcie
Dowód - Mamy:
. Stąd tzn. f jest ciągła w
Pytanie 23
Własności algebraiczne pochodnych:
Załóżmy, że f i g mają skończone pochodne w punkcie x. Wtedy:
1)
2)
3)
Pytanie 24
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej, pochodna superpozycji:
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Jeśli jest ciągłą iniekcją, różniczkowalną w punkcie oraz to funkcja odwrotna jest różniczkowalna w punkcie oraz
Różniczkowanie superpozycji Niech będą dane funkcje oraz , przy czym . Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie , zaś funkcja g - różniczkowalna w punkcie . Wówczas funkcja jest różniczkowalna w punkcie x oraz
Pytanie 25
Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej:
Interpretacja geometryczna: Niech ,
Czym jest
Prosta PQ nazywa się sieczną. Jej współczynnik kierunkowy jest równy
Interpretacja fizyczna:
1) Prędkość chwilowa: t - czas, s(t) - przebyta droga
ustalmy chwilę , - przyrost czasu
Iloraz - prędkość średnia w czasie od do = t
- prędkość chwilowa w chwili (V())
2) Przyśpieszenie chwilowe: V(t) - prędkość chwilowa w chwili t
Ustalmy
- przyśpieszenie średnie w czasie od do t
- przyśpieszenie chwilowe w chwili (a())
3) Natężenie prądu: q(t) - ładunek elektryczny, jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu od chwili do = t
- średnie natężenie prądu od do t
- natężenie prądu w chwili
Pytanie 26
Definicja różniczki:
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie . Różniczką funkcji f w punkcie nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej przypisuje liczbę . Różniczkę funkcji f w punkcie będziemy oznaczać jako .
Pytanie 27
Minima i maksima Lokalne Twierdzenie Fermata
Niech gdzie X jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie maksimum (odpowiednio minimum) lokalne, gdy
Jeśli odpowiednio w powyższym warunku nierówność (odpowiednio ) zastąpić przez < (odpowiednio >) , to mówimy o maksimum (odpowiednio minimum) lokalnym właściwym. Minimum lub maksimum lokalne funkcji nazywa się ekstremum lokalnym
Twierdzenie Fermata Jeśli funkcja ma w punkcie ekstremum lokalne oraz pochodna istnieje, to
Pytanie 28
Twierdzenia o wartości średniej:
Rolle'a:
Jeśli jest funkcją ciągłą na [a,b] i różniczkowalną na (a,b) oraz f(a)=f(b) , to istnieje punkt taki, że
Cauchy'ego:
Jeśli są funkcjami ciągłymi na [a,b] i różniczkowalnymi na (a,b), to istnieje taki punkt , że
Lagrange'a:
Jeśli jest funkcją ciągłą na [a,b] i różniczkowalną na (a,b) to istnieje punkt taki, że
Pytanie 29
Wnioski z tw. Lagrange'a:
Załóżmy ze funkcja jest różniczkowalna na (a,b)
Jeśli dla każdego , to funkcja f jest stała na (a,b)
Jeśli (odpowiednio ), to funkcja f jest niemalejąca (odpow. rosnąca) na (a,b)
Jeśli (odpowiednio ), to funkcja f jest nierosnąca (odpow. malejąca) na (a,b)
Pytanie 30
Asymptoty:
Niech ,,. Jeśli (odpowiednio. ) to mówimy, że prosta x=x0 jest prawostronną( odpowiednio lewostronną) asymptotą pionową wykresu funkcji f.
Załóżmy, że funkcja rzeczywista f jest określona w przedziale postaci
(odpowiednio ), gdzie . Mówimy, że prosta y=ax+b jest asymptotą wykresu funkcji f (odpowiednio w ), gdy
odpowiednio
Twierdzenie o asymptotach. Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy oraz
(odpowiednio w )
Pytanie 31
Niech . Załóżmy, że funkcje są różniczkowalne na (a,b), przy czym g'(x)><0 dla każdego oraz istnieje granica
jeśli ponadto
to
Analogiczne twierdzenie zachodzi gdy w w/w równościach
Pytanie 32
Funkcje wypukłe i wklęsłe, punkty przegięcia, związek z drugą pochodna:
Mówimy że funkcja f jest wypukła ( odpowiednio ściśle wypukła) na I gdy dla dowolnych punktów takich, że i dowolnego punktu mamy (odpowiednio ) ), gdzie jest funkcją, której wykres jest prostą przechodzącą przez punkty , > Stosując równanie prostej przechodzącej przez dane dwa punkty
wypukłość (odpowiednio ścisłą wypukłą funkcji f na I można zapisać jako
Odpowiednio
Jeśli w definicji zastąpić nierówność (odpow. <) przez (odpow. >), to mówimy, że funkcja f jest wklęsła (odpow. ściśle wklęsła) na I
Pytanie 33
Niech oraz . Załóżmy, że n-ta pochodna f(n) funkcji f istnieje i jest ciągła na [a,b], zaś pochodna f(n+1) istnieje wszędzie na (a,b). Niech . Określamy wielomian P wzorem
Wtedy dla każdego ,każdego , istnieje leżący między x i x0 taki, że
Pytanie 34
Funkcja Pierwotna, całka nieoznaczona własności:
Mówimy, że funkcja różniczkowalna jest funkcją pierwotną funkcji , gdy F'(x)=f(x) dla każdego I.
Załóżmy, że F0 jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji . Funkcja jest funkcją pierwotną funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stałą taka, że F(x)= F0(x)+C dla każdego
Jeśli funkcja posiada przynajmniej jedną funkcję pierwotną , to ogólną postać F(x)+C,
(gdzie CR) funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy przez albo . Zatem albo krótko , gdzie C jest dowolną stałą.
Liniowość całki nieoznaczonej Załóżmy, że oraz istnieją całki i. Wtedy istnieje całka oraz
; dla dowolnej liczby istnieje całka oraz
Pytanie 40
Definicja (całki oznaczonej Riemanna):
Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] i niech zbiór Pn={x0, x1,..., xn} oznacza podział odcinka [a,b] na n części, przy czym a= x0< x1<...< xn=b. Niech
?xk=xk-xk-1 oznacza długość k-tego odcinka podziału Pn, gdzie 1?k?n oraz ?(Pn)=max{?xk: 1?k?n} oznacza średnicę podziału Pn, zaś xk*?[ xk-1, xk] oznacza punkt pośredni k-tego odcinka podziału Pn, gdzie 1?k?n.
Sumą całkową funkcji f na przedziale [a,b] odpowiadającą podziałowi Pn oraz punktom pośrednim xk* tego podziału gdzie 1?k?n, nazywamy liczbę
.
Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem;
o ile istnieje granica właściwa występująca po prawej stronie znaku równości oraz granica ta nie zależy od sposobu podziałów Pn przedziału [a,b] ani od sposobu wyboru punktów pośrednich xk*, gdzie 1?k?n. Ponadto przyjmujemy dla a
Pytanie 42
Własności całko oznaczonej
Liniowość całki:
Niech oraz Jeśli na [a,b] to na [a,b] oraz
Jeśli na [a,b] to na [a,b] oraz
Monotoniczność całki:
Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są całkowalne w sensie Riemanna na [a,b] oraz dla każdego , to
Niech
Jeśli na [a,b], to na [a,b], oraz
Jeśli na [a,b], to na [a,b].
Pytanie 43
Twierdzenie Riemanna:
Każda Funkcja ciągła na jest całkowalna w sensie Riemanna
Dowód. Niech . Funkcja f jako ciągła na zbiorze zwartym [a,b] jest jednostajnie ciągła. Zatem
Niech będzie takim podziałem przedziału [a,b], że Ponieważ funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy, więc oraz
dla pewnych punktów ;
i=1,2,....,n. Zatem
<
Stąd wynika teza.
Pytanie 44
Twierdzenie o górnej granicy całkowania: Niech na [a,b]. Określmy funkcje górnej granicy całkowania wzorem
dla .
Funkcja F spełnia warunek Lipschitza na [a,b] (zatem jest jednostajnie ciągła na [a,b]).
Jeśli funkcja F jest ciągła w punkcie , to funkcja F jest różniczkowalna w x0 oraz F'(x0)=f(x0).
Pytanie 45
Wzór Newton-Liebnetz'a:
Jeśli na [a,b], oraz F jest funkcją pierwotną funkcji f na [a,b] to
Dowód. w/w równość będzie wykazana, jeśli udowodnimy, że Niech więc . Ponieważ na [a,b], więc z twierdzenie Riemanna wynika, że istnieje podział taki, że dla dowolnego układu punktów pośrednich (i=1,...,n) mamy Stosując twierdzenie Lagrange'a (korzystając z wniosków) do funkcji F na przedziale otrzymujemy
Stąd
Pytanie 46
Twierdzenie o Całkowaniu przez części: Załóżmy, że funkcje mają ciągłe pochodne na [a,b]. Wówczas
Twierdzenie o zamianie zmiennych. Załóżmy, że funkcja będzie funkcją ciągłą. Wtedy dla dowolnych punktów zachodzi wzór
Pytanie 47
Twierdzenie o wartości średniej dla całek:
Załóżmy, że jest funkcją ciągłą, zaś funkcja g jest całkowalna w sensie Riemanna na [a,b] oraz nieujemna na [a,b] lun niedodatnia na [a,b]. Wówczas
Pytanie 48
Długość łuku krzywej:
Jeżeli łuk l dany jest równaniami parametrycznymi:
przy czym nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne na przedziale [?,?], to długość ?l? łuku l wyraża się wzorem:
.
Jeżeli łuk l dany jest równaniem jawnym , gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wówczas długość ?l? tego łuku wyraża się wzorem:
.
Jeżeli łuk l dany jest równaniem biegunowym , gdzie g jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale , wówczas długość ?l? łuku l wyraża się wzorem:
.
Pytanie 49
Pole powierzchni bryły obrotowej:
Niech krzywa AB będzie dana równaniem , gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB dokoła osi Ox wyraża się wzorem:
.
Niech krzywa AB będzie dana równaniami parametrycznymi:
gdzie funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne i y jest nieujemna na przedziale , oraz krzywa AB nie posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB wokół osi Ox wyraża się wzorem:
.
Objętość bryły obrotowej:
Niech S(x), gdzie x?[a.b], oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną prostopadłą do osi OX w przestrzeni X oraz niech S będzie funkcją ciągłą na przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem;
.
Niech , gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b], oznacza trapez krzywoliniowy. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokół osi 0x wyraża się wzorem:
.
Pytanie 50
Zbieżność całki niewłaściwej:
Niech oraz załóżmy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale . Mówimy, że b jest punktem osobliwym funkcji f, gdy zachodzi jeden z dwóch przypadków:
1
2 funkcja jest nieograniczona na każdym przedziale Całką niewłaściwą funkcji f na [a,b) nazywamy granice ( o ile ta granica istnieje) oraz oznaczamy ją przez . Jeśli granica ta jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś nie istnieje lub jest nieskończona to mówimy, że całka jest rozbieżna. Ponadto mówimy, że całka jest bezwzględnie zbieżna, gdy całka jest zbieżna.
Pytanie 52
Definicja szeregu:
Niech będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg gdzie . Taki szereg liczbowy oznaczamy symbolem . Liczbę nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę - n-tą sumą tego szeregu.
Pytanie 53
Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeśli szereg jest zbieżny to
Dowód Niech sn oznacza n-tą sumę częściową szeregu . Stąd
Pytanie 55
Kryterium porównawcze:
Jeśli to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu i z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu .
Pytanie 56
Kryterium Cauchy'ego:
Jeśli to jest zbieżny gdy i rozbieżny gdy .
Kryterium d'Alemberta:
Jeśli oraz to szereg jest zbieżny gdy i rozbieżny gdy .
Pytanie 57
Kryterium Leibniza:
Jeśli jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg zwany szeregiem naprzemiennym jest zbieżny.
Pytanie 58
Definicja ciągu funkcyjnego:
Przyjmijmy, że .
Ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze nazywamy każdą funkcję odwzorowującą zbiór w zbiór . Załóżmy, że . Wówczas dla oznaczenia ciągu funkcyjnego, którego n-tym wyrazem jest funkcja używamy oznaczenie .
Niech oznacza ciąg funkcyjny taki, że . Niech .
Niech będzie ciągiem funkcyjnym takim, że . Szeregiem funkcyjnym nazywamy ciąg funkcyjny gdzie . Taki szereg funkcyjny oznaczamy symbolem . Funkcję nazywamy n-tym wyrazem a funkcję nazywamy n-tą sumą tego szeregu.
Pytanie 59
Definicja zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego:
Mówimy, że ciąg jest punktowo zbieżny na zbiorze do funkcji jeśli .
Definicja zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego
Mówimy, że ciąg jest jednostajnie zbieżny na zbiorze do funkcji jeśli .
Fakt, że jest punktowo zbieżny do funkcji na zbiorze oznaczamy pisząc .
Fakt, że jest jednostajnie zbieżny do funkcji na zbiorze oznaczamy pisząc .
| Dane autora: | ||